Фамилия Азимбеков — это «полная запись» исходного тюркского имени, к которому добавили русский суффикс. Разбираем её по частям. Основа — составное имя Азимбек. Первая часть, «Азим», восходит к арабскому «азим» — великий, могучий, один из эпитетов Аллаха. Вторая часть, «бек», — тюркский титул, означающий князя, господина, предводителя. Вместе получается «великий господин» или «могучий князь» — имя с явным пожеланием знатности и силы, которое давали не каждому.

Типичная модель: к полному имени добавили суффикс «-ов». Это самый распространённый способ русификации нерусских фамилий в XIX–XX веках. В Российской империи и СССР при записи в метрики, паспорта или воинские списки тюркские фамилии часто получали стандартное окончание «-ов» или «-ев». Так Азимбек (личное имя или прозвище) превратился в Азимбеков, то есть «сын (или потомок) Азимбека».

Редкость фамилии в том, что она сохранила полную форму имени-основы без усечения или переосмысления. Сравните: в фамилиях Азимов отпал «бек», а в Беков — «Азим». Азимбеков же — точная запись исходного антропонима. Это говорит о том, что предок носителя был человеком заметным: имя Азимбек подчёркивало статус или религиозное благочестие семьи. Сословно носители могли быть как из знатных родов (если «бек» — реальный титул), так и из крестьян или ремесленников, получивших имя как благопожелание.

Географически фамилия привязана к регионам, где распространены тюркские языки и ислам: Казахстан, Киргизия, Узбекистан, а также северокавказские республики (Дагестан, Чечня). В России носители встречаются в Поволжье и на Урале, куда переселялись выходцы из Средней Азии. Встречаются варианты написания: Азимбе́ков (с ударением на второй слог, как в имени) и Азимбеков (с ударением на третий).