Фамилия Азмеев — редкий случай, когда корень слова почти наверняка не русский, а тюркский. В её основе лежит личное имя или прозвище «Азмай» или «Азмей». В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) оно могло означать «не сбивающийся с пути», «верный», «прямой». Буквальный разбор: от слов «аз» (путь, дорога) и «май» (отрицание, «не»). То есть прозвище давали человеку надёжному, на которого можно положиться.

Суффикс «-ев» здесь работает по русской патронимической модели: Азмеев — это «сын Азмея». Такие фамилии массово закреплялись за крещёными татарами и другими тюркскими народами Поволжья в XVI–XIX веках, когда они переходили в православие и получали фамилии по отцу. Встречается Азмеев прежде всего в Татарстане и соседних регионах — Башкортостане, Оренбургской области.

Интересная деталь: фамилия почти не встречается за пределами России и стран бывшего СССР. В дореволюционных списках она крайне редка, что указывает на позднее оформление — скорее всего, в середине XIX века, когда фамилии начали массово закреплять за государственными и бывшими удельными крестьянами.

Есть и менее вероятная версия: связь с арабским именем Азим (Великий) через диалектный вариант Азмей. Но для этого пришлось бы допустить нехарактерное для арабского языка стяжение, поэтому тюркский корень выглядит убедительнее.

Если ваши предки — Азмеевы, то корни, скорее всего, ведут в татарские или башкирские деревни, а родоначальник носил прозвище, которое подчёркивало его честность и прямоту.