Фамилия Азмеев — редкий пример, когда корень слова почти наверняка не русский, а тюркский. Основа — «Азмай» или «Азмей». Это личное имя или прозвище, которое в тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) могло означать «не сбивающийся с пути», «верный», «прямой». Буквально: от слов «аз» (путь, дорога) и «май» (отрицание, «не»). То есть прозвище давали человеку надёжному, на которого можно положиться.

Суффикс «-ев» указывает на русскую модель патронимического образования: фамилия Азмеев — это «сын Азмея». Такие фамилии массово возникали у крещёных татар и других тюркских народов Поволжья в XVI–XIX веках, когда они переходили в православие и получали фамилии по отцу. Встречается она прежде всего в Татарстане и соседних регионах — Башкортостане, Оренбургской области.

Есть и менее вероятная, но возможная версия: связь с арабским именем Азим (Великий) через диалектный вариант Азмей. Но для этого пришлось бы допустить нехарактерное для арабского языка стяжение, поэтому версия с тюркским корнем выглядит убедительнее.

Интересная деталь: фамилия Азмеев почти не встречается за пределами России и стран бывшего СССР. В дореволюционных списках она крайне редка, что говорит о её позднем оформлении — скорее всего, в середине XIX века, когда у государственных крестьян и бывших удельных крестьян начали массово закреплять фамилии.

Если ваши предки — Азмеевы, то корни, скорее всего, ведут в татарские или башкирские деревни, а родоначальник носил прозвище, которое подчёркивало его честность и прямоту.