Фамилия Азметова — женская форма фамилии Азметов, и её разбор стоит начать с мужского варианта, который образован по самой распространённой в русском языке модели: от основы на согласный добавляется суффикс -ов. Это значит, что в основе лежит прозвище или имя Азмет.

Самая вероятная версия связывает Азмета с тюркскими языками. В татарском, башкирском, казахском и других тюркских языках есть имя Азмет (варианты — Азмат, Асмет). Оно восходит к арабскому Ахмад («достойный похвалы», «самый хваленый»), одному из имён пророка Мухаммеда. В тюркской среде имя прошло через фонетические изменения: звук «х» выпал или перешёл в «с/з», а «д» на конце оглушилось до «т». Так Ахмад превратился в Азмета. Фамилия Азметов, таким образом, — это патроним, то есть указание на отца по имени Азмет.

Менее распространённая, но возможная версия — происхождение от прозвища, не связанного с личным именем. В некоторых тюркских диалектах «азмет» могло означать «малый, небольшой» или, наоборот, иметь переносное значение — «работящий, усердный» (от «аз» — мало, «мет» — цель, стремление). Но эта гипотеза слабее, так как имя Азмет как производное от Ахмада зафиксировано в метрических книгах и переписях Поволжья и Приуралья.

Географически фамилия Азметова встречается в регионах с компактным проживанием татар и башкир: в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской, Челябинской областях. Также она есть у кабардинцев и балкарцев, что неудивительно — исламские имена и тюркские модели фамилий распространены на Северном Кавказе. Сословно предки Азметовых скорее всего были государственными или ясачными крестьянами, реже — служилыми татарами, которые получали землю за несение военной службы.

Примечательная деталь: фамилия Азметов нередко соседствует с однокоренными Ахметов и Ахматов. Все они восходят к одному арабскому корню, но разошлись в произношении из-за местных диалектов. Азметов — более редкий вариант, чем Ахметов, что делает его хорошим маркером для генеалогического поиска: если в документах встречается Азметов, это сужает круг поиска до определённой местности или даже конкретного рода.