Фамилия Азявчиковы — редкий пример того, как прозвище, основанное на привычке или внешности, закрепилось в форме патронимической фамилии. В её основе лежит прозвище Азявчик, а само словообразование идёт по типичной восточнославянской модели: к основе на -чик добавили суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?» — Азявчиков). Это значит, что родоначальника звали Азявчик, а его дети стали Азявчиковыми.

Корень прозвища, скорее всего, связан с диалектным глаголом «азять» (варианты «азеть», «азеять»), который в говорах означал «глазеть, зевать, смотреть рассеянно». Если это так, то Азявчиком прозвали человека с привычкой смотреть по сторонам, ротозея или просто задумчивого, медлительного человека. Такие прозвища по поведению давали метко и они легко закреплялись.

Есть и другая версия, хотя она кажется менее убедительной. Она связывает прозвище с белорусским прилагательным «азіяцкі» — «азиатский». Согласно этой гипотезе, Азявчиком могли назвать человека с восточными чертами лица или того, кто побывал в Азии. Однако для такой версии нет устойчивой фонетической параллели: переход «азиат-» в «азяв-» в живой речи маловероятен. Поэтому первое объяснение — от глагола «азять» — выглядит естественнее.

Географически фамилия тяготеет к западнорусским и белорусским землям, где диалектный глагол «азять» был в ходу. Точное место и время возникновения назвать сложно: такие фамилии складывались в XV–XVII веках, когда прозвища на -чик активно превращались в родовые имена. Сейчас фамилия Азявчиков остаётся редкой, что только подчёркивает её связь с местным говором и конкретным человеком, получившим когда-то точное и нешаблонное прозвище.