Фамилия Азыев — редкий случай, когда основа, скорее всего, тюркская, а фамилия по форме — русская, причём с нетипичным суффиксом. Если бы фамилия звучала как Азиев или Азов, вопросов бы не было: суффикс -ев/-ов самый распространённый. Но здесь -ы- в суффиксе (-ыев) встречается гораздо реже и обычно указывает на прилагательное в форме родительного или именительного падежа множественного числа (сравните: «из семьи Азых»). Такая модель характерна для северных и сибирских регионов, где фамилии на -ых, -их (Белых, Косых) и их производные не редкость.

Само прозвище или имя Азый (основа фамилии) восходит к тюркскому корню. Самый прямой вариант — от тюркского «азыг» (клык, бивень) или «азык» (еда, провизия). В первом случае прозвище могли дать человеку с крупными зубами, во втором — тому, кто добывал пропитание, кормильцу. Встречается и версия, что в основе лежит имя Ази, Азы — краткая форма от арабского Азиз (могучий, дорогой), но тогда фамилия писалась бы через «и» — Азиев. Наличие буквы «ы» в корне (Азыев) поддерживает версию именно о тюркском прозвище, а не об арабском имени.

Географически фамилия привязана к регионам, где русские соседствовали с тюркскими народами: Поволжье, Урал, Сибирь. Встречается у татар, башкир, а также у русских старожилов тех мест. Социальный состав носителей — в основном крестьяне и казаки, реже — купцы. Дворянских родов с такой фамилией в «Бархатной книге» и «Общем гербовнике» нет, что говорит о её простонародном происхождении.

Словообразовательно фамилия уникальна тем, что суффикс -ыев фактически застыл в форме множественного числа, что делает её «памятником» диалектной русской ономастики, где фамилия могла означать не просто «сын Азого», а «из рода Азых».