Фамилия Азыма — редкий случай, когда основа не поддаётся однозначной славянской этимологии. В русском ономастиконе фамилий на -ыма почти нет, и это сразу выдаёт её нерусское происхождение. Скорее всего, перед нами тюркская или кавказская фамилия, адаптированная русским окончанием -а.

Разберём корень «Азым». В тюркских языках (особенно в казахском, киргизском, татарском) слово «азым» означает «шаг», «ступень» или «поступь». Прозвище Азым могли дать человеку с особой, размеренной походкой — либо в переносном смысле, как «делающий большие шаги» в делах. Вторая версия отсылает к арабскому имени Азим (Азым) — «великий», «могучий» (один из эпитетов Аллаха). В тюркской среде имя Азым давали мальчикам, желая им силы и значимости. Фамилия Азыма тогда — это русифицированная форма отчества: «чей?» — Азымов, но с усечением суффикса или через местный говор.

Географически фамилия встречается в Крыму, среди крымских татар, а также в южных регионах России и в Средней Азии. Встречаются варианты написания Азима и Азымов. В русских переписях XVII–XVIII веков эта фамилия не фиксируется — её нет в боярских списках или ревизских сказках центральных губерний, что подтверждает её позднее вхождение в русский обиход, скорее всего, через межнациональные браки или миграции XIX–XX веков.

Морфологически фамилия стоит особняком: суффикс -ыма не является типичным русским фамильным суффиксом (обычны -ов, -ин, -ский). Это либо усечённая форма от Азымов (отпало -ов, осталась основа), либо прямое заимствование имени в роли фамилии, что характерно для тюркских народов, где фамилии часто совпадают с личными именами. В любом случае, носитель фамилии Азыма с большой вероятностью имеет предка, которого звали Азым — по имени или по прозвищу.