Фамилия Азымова образована от мужского имени Азым (вариант Азим) — производной формы арабского имени Азим, что значит «великий», «могучий», «величайший». Имя Азим — один из эпитетов Аллаха в исламе, поэтому оно широко распространено среди народов, исповедующих ислам: татар, башкир, народов Кавказа, Средней Азии. Суффикс -ов указывает на типичную русскую модель образования фамилий от иноязычных основ: Азым + ов = «сын (или потомок) Азыма». Это говорит о том, что предок носительницы фамилии, скорее всего, был крещён или жил в среде, где русская фамильная система наложилась на тюркское или мусульманское имя.

Интересная особенность — написание через «ы» (Азымов, а не Азимов). В русском языке после твёрдых согласных (з, с, т, д) в заимствованных именах часто происходит замена «и» на «ы» под влиянием произношения: Азим — Азым. Такая орфография встречается в старых метрических книгах и переписях, особенно в Поволжье и на Урале, где татарские и башкирские имена записывались на слух. Поэтому фамилия Азымова может указывать на регион бытования: Татарстан, Башкортостан, Оренбуржье.

Встречается и другой, более редкий корень: в некоторых говорах «азым» — диалектное название растения (например, озимая рожь). Но эта версия маловероятна, так как прозвище «Азым» в значении «озимь» не зафиксировано в источниках как личное имя, а фамилии от названий растений обычно образуются через суффиксы -ин или -ский (Озимов, Озимский). Исламское происхождение — основное и надёжное.

В дореволюционных списках фамилия Азымов встречается среди мещан и крестьян, в основном в Казанской и Уфимской губерниях. Известных носителей с громкой славой нет, но это типичная фамилия, которая сохраняет память о предке, носившем имя с религиозным смыслом — «великий» или «могучий».