Фамилия Азымов — редкий случай, когда корень слова не славянский, а тюркский, но суффикс чисто русский. Основа «Азым» восходит к тюркскому имени Азым (вариант Азим), которое в переводе с арабского означает «великий», «могучий» или «решительный». Имя это было распространено у татар, башкир, казахов и других народов, исповедующих ислам. Присоединение суффикса -ов превратило восточное имя в типичную русскую фамилию: так на Руси оформляли фамилии для крещёных татар или людей из тюркской среды, переходивших в православие. Если бы фамилия осталась в исконной среде, она звучала бы как Азымов — без изменений, потому что суффикс -ов универсален и для тюркских языков не чужой.

Интересно, что в русском языке существует фамилия Азимов, которая встречается гораздо чаще. Азымов — её орфографический вариант, возникший из-за особенностей произношения или записи в документах: в некоторых говорах «з» перед «ы» звучит твёрже, а буква «ы» вместо «и» — следствие аканья или просто неграмотности писаря. В паспортах и метриках XIX века такие расхождения были обычным делом. Поэтому Азымов и Азимов — по сути одна фамилия, различающаяся только буквой.

Географически фамилия тяготеет к Поволжью и Приуралью: Татарстан, Башкортостан, Оренбургская область. Встречается она и у русских, но значительно реже. Носители фамилии — потомки тех, кто получил её по имени отца или деда. Никакого отношения к азам или азбуке фамилия не имеет, хотя внешне напоминает слово «азы». Это ложная этимология, которую иногда предлагают, но корень здесь однозначно тюркский.

В дореволюционных списках Азымовы могли быть как крестьянами, так и купцами или духовенством — сословная принадлежность зависела от региона и конкретной семьи. Сейчас фамилия остаётся малочисленной, но устойчивой: её не путают с Азимовым только благодаря редкой букве «ы», которая сразу выделяет носителя.