Фамилия Бабришов — редкая и с неочевидной на первый взгляд основой. Если отбросить типичный русский суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?»), остаётся корень «Бабриш-». Самое простое объяснение — перед нами вариант фамилии Бабрышев, где произошла замена суффикса. В таком случае в основе лежит прозвище Бабрыш, которое могло быть связано с диалектным словом «бабрыш» — так в некоторых говорах называли бабушку, старуху, а иногда и просто болтливого или суетливого человека. Однако у этой версии есть слабое место: фамилии на -ышев обычно образовывались от прозвищ с суффиксом -ыш (Малыш — Малышев, Голыш — Голышев), а «бабрыш» — форма нехарактерная.

Вероятнее другое: фамилия могла возникнуть от имени или прозвища Бабриш, которое является производным от крестильного имени Амвросий. В народном произношении Амвросий нередко сокращался до Абросим, а затем — до Броша или Брошка. Форма Бабриш могла появиться в результате перестановки звуков (метатезы) или под влиянием местного говора. Если принять эту версию, то предок носителя фамилии — человек по имени Амвросий, которого в быту звали Бабришем. Суффикс -иш в таком прозвище — скорее уменьшительно-пренебрежительный, что для русских неофициальных имён обычное дело.

С точки зрения географии, фамилия Бабришов встречается крайне редко, в основном в центральных и южных областях России. В документах XVII–XVIII веков она не зафиксирована, что говорит о её позднем оформлении — скорее всего, в XIX веке, когда крестьянам массово давали фамилии по прозвищам. Сословно это почти наверняка крестьянская или мещанская фамилия: дворянские роды с таким окончанием обычно имели более прозрачную этимологию.

Стоит учесть и возможность иноязычного корня. В тюркских языках есть слово «бабр» — тигр, а суффикс -иш мог придать форме значение «похожий на тигра» или «тигрёнок». Но для русского уха такое объяснение звучит натянуто: фамилии с «б» и «р» в основе чаще связывают с диалектной лексикой, чем с заимствованиями. Поэтому наиболее правдоподобной остаётся версия с происхождением от Амвросия через народную форму Бабриш.