Фамилия Бадажкова — редкая и с точки зрения словообразования нестандартная. Она образована по модели, характерной для западнорусских земель, но с неочевидной основой.

Ключ к разгадке — суффикс -ов- (в женском роде -ова). Это самая распространённая модель русских фамилий, указывающая на принадлежность: «чей?» — Бадажков. Но корень «бадаж-» в русском языке не встречается ни как имя, ни как нарицательное слово. Здесь возможны две версии, и обе ведут к прозвищам.

Первая, самая вероятная: основа связана со словом «бадаж» — диалектным вариантом слова «батог» (палка, посох). В южнорусских и белорусских говорах «бадагом» называли длинную палку, дубину, а также орудие для наказания. Прозвище Бадаг (или Бадаж) могли дать либо высокому, худому человеку («длинный, как батог»), либо тому, кто часто ходил с палкой (пастух, странник, старик). Фамилия Бадажков — буквально «сын (или потомок) Бадажа».

Вторая версия, менее распространённая, но лингвистически возможная: искажённая форма от тюркского имени Бадак (встречается у татар и башкир, означает «маленький» или «младший»). В русской среде такое имя могли переделать на «Бадаж» для благозвучия, а затем добавить типичный русский суффикс.

Географически фамилия Бадажкова (и мужской вариант Бадажков) тяготеет к западным областям России — Смоленской, Брянской, Псковской, а также к границе с Беларусью. Там диалектное «бадаг» было в ходу. Сословно носители, скорее всего, были крестьянами или однодворцами, а не дворянами: фамилия не попала в родословные книги и не фиксируется в исторических документах выше местного уровня.

Таким образом, предок современной носительницы фамилии получил прозвище по внешности или занятию — «человек, похожий на батог» или «ходящий с батогом». Со временем прозвище закрепилось за его детьми как наследственное имя, а затем по стандартной модели превратилось в фамилию.