Фамилия Бадажков — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Её основа «Бадаж(к)» не встречается ни в старых русских именах, ни в распространённых прозвищах, поэтому для разбора придётся оттолкнуться от суффикса и возможных диалектных корней.

Суффикс -ов указывает на классическую русскую патронимическую модель: Бадажков — буквально «сын Бадажка» или «потомок Бадажка». Но что такое «Бадажок»? Скорее всего, это уменьшительная форма от прозвища Бадай или Бадага. В русских говорах слово «бадага» означало «болтун, пустомеля» (от «бадить» — говорить вздор). В таком случае Бадажок — «маленький болтун» или, с иронией, просто человек с такой речевой манерой.

Есть и другая, более прозаичная версия. В южнорусских и украинских говорах «бадаг» или «бадажок» — это палка, посох, батог. Прозвище Бадажок могли дать либо человеку, который постоянно ходил с палкой (хромой, пастух, странник), либо, в переносном смысле, упрямому и «колючему» человеку. Фамилия Бадажков тогда означала бы «из рода того, кого звали Палкой».

Третья, менее вероятная, но возможная версия — искажённое «бадажок» от тюркского «бада» (малый, младший) или «баджа» (свояк, муж сестры жены). Но для этого нет убедительных документальных подтверждений, и в русской среде такая основа прижилась бы скорее как Бадаев или Баджаев, а не Бадажков.

Географически фамилия Бадажков — абсолютный уникум. В современных базах данных она практически не встречается за пределами единичных записей. Это говорит о том, что род был очень немногочисленным, возможно, происходил из одной местности (например, из южных областей России, где бытовало слово «бадаг»). Сословная принадлежность предков неясна, но по модели образования (суффикс -ов, а не -ский) это, скорее всего, крестьянская или мещанская фамилия, а не дворянская.

Коротко: ваш предок получил прозвище Бадажок — скорее всего, за манеру много говорить (болтун) или за привычку ходить с палкой. Фамилия редкая, и её следы, вероятно, ведут в южнорусские области.