Фамилия Бадига — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а название растения. Корень здесь — «бадига» (или «бодяга»), так в русских говорах называли пресноводную губку, которой в народной медицине лечили синяки и ревматизм. Человек мог получить прозвище Бадига за то, что собирал, продавал или применял эту губку — знахарь, травник, а то и просто торговец снадобьями. Вторая версия менее вероятна, но тоже имеет право на существование: в некоторых диалектах «бадигой» дразнили медлительного, вялого человека (по ассоциации с мягкой, бесформенной губкой). Спор здесь не принципиален — обе гипотезы отталкиваются от одного и того же слова, разница лишь в том, какое качество предок подметил в носителе прозвища.

Модель образования проста: фамилия застыла в чистой форме прозвища без суффикса. Если бы её носитель был сыном Бадиги, в центральной России появились бы Бадигин или Бадигов, но здесь — Бадига. Такая бессуффиксная модель типична для украинских, белорусских и южнорусских фамилий, где прозвище переходило в наследственное имя без изменений. Это сразу указывает на географию: скорее всего, фамилия зародилась в чернозёмной полосе или на Слобожанщине, где говор был близок к малороссийскому.

Фамилия редкая, в списках дворянских родов не встречается — это стопроцентно крестьянское или мещанское прозвище, которое закрепилось за одним родом и не разошлось широко. В современной России Бадига чаще всего встречается в Курской, Белгородской и Воронежской областях, что подтверждает южную привязку. Если вы ищете эту фамилию, стоит проверить метрические книги именно этих губерний — там, в среде однодворцев или государственных крестьян, и нужно искать корни.