Фамилия Бадыга — редкий случай, когда прозвище сохранилось почти без изменений, без привычных фамильных суффиксов -ов, -ин или -ский. Такая «голая» форма, как Бадыга, характерна для украинской и белорусской традиции, а также для южнорусских областей, где фамилии нередко закреплялись в виде чистого прозвища. В великорусских говорах такое окончание встречается реже, поэтому географически фамилию стоит искать прежде всего на Украине, в Беларуси и в прилегающих районах России.

Основа фамилии — слово «бадыга» или «бадяга». В южных и западных говорах так называли пресноводную губку, которую в народной медицине использовали как средство от синяков и ревматизма. Прозвище Бадыга могли дать человеку, который занимался сбором или продажей этой губки, либо знахарю, лечившему ею. Вторая, менее распространённая версия связывает слово с диалектным «бадыль» — стебель, ботва, сухая трава. Тогда прозвище могло относиться к человеку высокому и худому, похожему на сухой стебель. Оба объяснения логичны и не противоречат живой народной речи.

Суффиксальная модель здесь отсутствует — фамилия образована напрямую от прозвища, без дополнительных формантов. Это указывает на относительно позднее закрепление фамилии, когда в документах просто записали то, как человека называли в быту. В русских переписных книгах XVII–XVIII веков такие «прозвищные» фамилии встречаются у крестьян и казаков, реже — у мещан. Дворянские роды почти всегда оформлялись с суффиксами, поэтому Бадыга — фамилия простонародная.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Бадыгин, Бадыгинский) показывает, что вариант Бадыга — исходный, более архаичный. Если Бадыгин — это уже «сын Бадыги», то Бадыга — сам носитель прозвища. Такая форма сохранилась в основном на территориях, где долго действовала украинская или польская письменная традиция, не требовавшая обязательной русификации фамилий.

Известных носителей фамилии немного, что подтверждает её редкость. В дореволюционных метрических книгах Бадыга встречается в Подольской и Волынской губерниях, а также среди запорожских казаков. В советское время фамилия рассеялась по всей стране, но осталась малочисленной. Сегодня её можно встретить в России, Украине и Беларуси, но она не входит даже в первую тысячу по распространённости.