Фамилия Баева — женская форма фамилии Баев, и её происхождение напрямую связано с мужским прозвищем Бай. Спор о корнях этого прозвища — один из самых интересных: здесь сталкиваются славянская и тюркская версии, и обе имеют весомые основания.

Согласно первой версии, прозвище Бай образовалось от древнерусского глагола «баить» — говорить, рассказывать. Баем называли красноречивого человека, балагура, умевшего увлечь слушателей историями. В культуре восточных славян такие люди ценились: неслучайно существовали и профессиональные сказители (вроде легендарного Бояна), и скоморохи, развлекавшие народ побасенками и прибаутками. Так что прозвище могло указывать не только на талант рассказчика, но и на род деятельности предка. Менее распространённая, но любопытная версия связывает прозвище с украинским словом «бай» — «спать»: в этом случае Баем могли прозвать любителя поспать или же дать такое имя новорожденному.

Вторая версия ведёт прозвище к тюркскому слову «бай» — господин, богатый хозяин, землевладелец. В этом случае прозвище указывало на социальный статус предка. Более того, в тюркской традиции имя Бай могли дать ребёнку с пожеланием материального благополучия — как оберег или напутствие. Позже такое имя или прозвище закрепилось за человеком и перешло в фамилию: потомок Бая становился Баевым, а его дочь или жена — Баевой.

Обе версии не исключают друг друга: на огромной территории расселения русских прозвища могли возникать независимо из разных языковых источников. В Поволжье, на Урале и в Сибири, где славянское и тюркское население веками жило рядом, фамилия Баев/Баева особенно распространена. Это подтверждают и архивные записи: в Книге памяти Республики Татарстан значится Баев Кирилл Платонович (1888 года рождения, село Русский Сарсаз Менделеевского района). Из «Белорусского Мемориала» известен Баев Кондрат Романович (1885 года рождения, село Маластовка Могилевской области). Эти примеры показывают, что фамилия бытовала как в татарском регионе, так и на западе — в Беларуси, что косвенно подтверждает множественность её корней.

Среди известных носителей фамилии — советский биохимик Александр Александрович Баев, член-корреспондент АН СССР. Он занимался изучением клеточного дыхания и химического строения транспортных РНК. Другая знаменитая представительница фамилии — Народная артистка РСФСР Вера Михайловна Баева, солистка Свердловской филармонии.