Фамилия Багаури звучит непривычно для русского уха, но её происхождение вполне прозрачно. Это грузинская фамилия, образованная по характерной для Закавказья модели с суффиксом -ури. В грузинской ономастике такие окончания (-ури, -дзе, -швили, -иа) указывают на принадлежность к роду или местности, причем -ури чаще встречается в восточных регионах Грузии, особенно в Кахетии и Пшав-Хевсуретии.

Основа фамилии — «бага» (ბაგა). В грузинском языке это слово многозначно: оно может означать «сад», «виноградник», а в некоторых диалектах — «ограда» или «загон для скота». Скорее всего, прозвище Бага или родовое имя Багаури дали человеку, который жил возле сада, владел виноградником или занимался садоводством. Грузия — страна древних винодельческих традиций, и фамилии, связанные с земледелием и виноградарством, там не редкость.

Вторая версия, менее распространенная, связывает «бага» с тюркским заимствованием: в ряде тюркских языков «бага» означает «лягушка». Однако для грузинской фамилии это маловероятно — тюркские корни в Грузии чаще дают фамилии на -оглы или -заде, а не на -ури. Поэтому садово-виноградная версия выглядит убедительнее.

По социальному составу Багаури — фамилия не аристократическая (княжеские роды Грузии обычно носили окончания -дзе или -швили), а крестьянская или мещанская. Предки носителя этой фамилии, вероятно, были свободными земледельцами или виноградарями в восточной Грузии. Встречается фамилия и в Осетии, где её могли получить грузинские переселенцы, и в русскоязычной среде — как результат миграций XIX–XX веков.

В русском языке фамилия не склоняется, если принадлежит мужчине (Иван Багаури), и склоняется, если принадлежит женщине (Анны Багаури). Ударение, судя по грузинскому произношению, падает на второй слог — БагАури, хотя в бытовой речи иногда смещается на последний.