Фамилия Багодяж — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В ней нет привычного для русских фамилий суффикса -ов или -ин, что сразу указывает на нерусскую или, точнее, невеликорусскую основу. Скорее всего, перед нами фамилия украинского или белорусского происхождения, где суффикс -яж (или -аж) встречается чаще, чем в России, и часто служит для образования прозвищ от глаголов.

Первый и самый очевидный путь разбора — от глагола «багодити» или «багодить». В юго-западных русских говорах, особенно на территории современной Украины и Беларуси, это слово означало «баловать», «шалить», «проказничать», а также «делать что-то небрежно, кое-как». Человек, которого прозвали Багодя (или Багода), мог быть озорником, непоседой или просто нерадивым работником. Суффикс -яж добавляет оттенок действия или свойства: Багодяж — тот, кто багодит, то есть «баловник» или «шалун». Такая модель образования (основа глагола + -яж) встречается, например, в фамилиях Коряж (от «корить»), Бродяж (от «бродить»), хотя последняя уже стала нарицательной.

Вторая версия, менее вероятная, но не исключённая, — топонимическая. В Польше и Западной Беларуси есть несколько мелких населённых пунктов с корнем «Багод-» или «Богод-». Фамилия могла закрепиться за выходцем из такого места. Однако, если бы это было так, мы бы чаще видели форму Багодяжский, с типичным для польской шляхты суффиксом -ский. Отсутствие этого суффикса склоняет к версии о прозвище.

Интересно, что корень «баг-» в славянских языках многозначен. Он может быть связан с цветом (багровый, багряный), с болотом (багно — топь, грязь) или с глаголом «баять» (говорить). Но в случае с Багодяж ни один из этих корней не даёт убедительного объяснения без натяжек. Связь с «багно» дала бы скорее фамилию Багнов или Багнюк.

Социально фамилия Багодяж, скорее всего, относится к крестьянским или казачьим. Прозвища, образованные от бытовых действий и качеств, были распространены именно в этой среде. Дворянские фамилии чаще имели книжную или географическую основу. Таким образом, предок носителя фамилии Багодяж, с высокой вероятностью, был человеком из украинских или белорусских земель, которого в округе знали как баловника или не слишком усердного работника.