Фамилия Богодяж, встречающаяся преимущественно в Белоруссии, вероятнее всего, является вариантом фамилии Богодяш. В свою очередь, фамилия Богодяш представляет собой застывшую форму аналогичного имени. Богодяш — это производная форма имени Богодан или Богдан, которое восходит к двум славянским основам со значениями «бог» и «дать». Таким образом, имя Богдан означает «данный богом». У имени Богдан есть небесный покровитель — святой Феодот (Богдан) Кесарийский, который получил имя Богдан при крещении. Таким образом, потомок человека, которого звали Богодяш, со временем получил фамилию Богодяж. Так, например, в Книге памяти Белорусский «Мемориал» есть запись о белорусском крестьянине-единоличнике Луке Андреевиче Богодяже, родившемся в 1904 году в деревне Старина Борисовского района Минской области, а также о белорусском плотнике Мойсее Игнатовиче Богодяже, родившемся в деревне Иванковщина Холопеничского района Минской области.