Фамилия Богодайко образована от имени, а точнее — от одной из народных форм канонического мужского имени Богдан. Само имя Богдан пришло в русский язык из Болгарии и переводится как «богом данный». От него в живой речи возникло множество производных, упрощённых вариантов, и один из них — Богодай — лёг в основу этой фамилии.

Суффикс -ко в фамилии Богодайко — типичный для украинской, белорусской и южнорусской ономастики. В этой модели он указывает на родство по отцу: Богодайко буквально понималось как «сын Богодая» или «сын Богдана». Такие фамилии на -ко (Бондаренко, Шевченко, Ковалько) исторически были распространены в среде казачества и крестьянства, а не в дворянских кругах, где чаще встречались фамилии на -ов/-ев.

Сама основа Богодай — не самостоятельное имя, а именно разговорный вариант Богдана. По звучанию она близка к другим народным переделкам: Богдай, Богдаш, Богданко. Интересно, что в некоторых говорах форма «Богодай» могла осмысляться и как прозвище — например, так могли назвать человека, родившегося по обету или после долгих молитв. Но в основе фамилии всё же лежит имя, а не прозвище.

Фамилия Богодайко встречается в основном на территории современной Украины, особенно в центральных и восточных областях, а также в южных регионах России. В дореволюционных переписях её носители фиксировались среди мещан и казаков. Сейчас фамилия редкая, но не исчезнувшая — её можно найти в реестрах потомков запорожских казаков.

Итог простой: если вы Богодайко, ваш предок по мужской линии, скорее всего, носил имя Богдан в его народной форме Богодай. Фамилия — прямая отсылка к этому имени, без дополнительных профессиональных или географических смыслов.