Каноническое мужское имя Богдан пришло в русский язык из Болгарии и переводится как «богом данный». От этого имени было образовано множество производных разговорных форм, одна из которых — Богодай — и легла в основу данной фамилии. Поэтому Богодайко буквально понималось как «сын Богдана».