Фамилия Багадяж — редкая, её не встретишь в распространённых справочниках русских фамилий вроде словаря Унбегауна. Скорее всего, перед нами фамилия позднего происхождения, искусственная или адаптированная при записи в официальные документы. Чтобы понять её корни, нужно отбросить окончание и присмотреться к основе.

Основа «Багадяж» звучит иноязычно. Напрашивается связь с тюркскими языками, где «бага» или «бака» может означать «лягушка» или «смотреть, глядеть» (ср. башкирское «баҡа» — лягушка, татарское «бага» — взгляд). Суффикс «-яж» нетипичен для исконно русских фамилий, которые чаще образуются с помощью -ов/-ев или -ин. Он мог возникнуть при русификации западного или южнославянского окончания, например, польского «-аж» (как в фамилиях Головаж, Деркач). В таком случае «Багадяж» — это русифицированная форма фамилии, которую когда-то записали на слух.

Вероятнее всего, фамилия происходит от прозвища. Если отталкиваться от тюркского корня, прозвище «Багадяж» могли дать человеку с характерной внешностью (например, широким ртом или навыкате глазами, что ассоциировалось с лягушкой) либо с цепким, «пристальным» взглядом. В славянской среде такие прозвища не были редкостью, но здесь они обросли необычным окончанием, которое закрепилось при паспортизации в XIX — начале XX века. Географически носители фамилии могут быть сосредоточены в регионах, где соприкасались русские, тюркские и польские влияния — например, на юге России, в Поволжье или на Западной Украине.

Сословная принадлежность предков по одной фамилии не определяется: прозвище «Багадяж» мог получить и крестьянин, и мещанин. Единственное, что можно утверждать с высокой вероятностью: фамилия не дворянская и не возникла из духовного сословия (для них характерны фамилии на -ский от названий церквей). Это «прозвищная» фамилия, сохранившая в себе редкое и трудно объяснимое слово, которое, скорее всего, уже не употребляется в живой речи.