Фамилия Багоюк — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней сразу обращает на себя внимание суффикс -юк, типичный для украинской и белорусской ономастики. В этих языках суффикс -юк (как и -ук, -чук) часто указывает на «сына» или «потомка»: Багоюк — буквально «маленький Багой» или «сын Багоя». То есть в основе фамилии лежит личное прозвище или имя Багой.

Что могло значить это слово? Самый прямой путь — к украинскому диалектному «багай» или «багой». В западных говорах (особенно в карпатском регионе) «багай» — это ленивый человек, увалень, мешковатый. Встречается и значение «неповоротливый, медлительный». Прозвище Багой могли дать человеку с соответствующим характером или манерой двигаться. Эта версия наиболее правдоподобна, так как прозвища по характеру — один из самых распространённых источников фамилий.

Есть и другая, менее вероятная гипотеза: связь с тюркским «бага» (лягушка, жаба) или «багай» (богатырь, силач). Но для украинской фамилии с суффиксом -юк тюркская основа маловероятна без следов длительного соседства — такие заимствования возможны, но обычно оставляют более узнаваемые следы (например, в фамилиях типа Багаев). В случае с Багоюк диалектное славянское объяснение лежит на поверхности.

Географически фамилия тяготеет к западу Украины — к Волыни, Подолью, Галичине. Там суффикс -юк особенно типичен, и там же бытует слово «багай». В России фамилия встречается единично, чаще всего как результат миграции из украинских губерний.

Социальный контекст простой: носители фамилии Багоюк — почти наверняка потомки крестьян или казаков. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. Прозвище Багой, лёгшее в основу, не несло оскорбительного оттенка, скорее было бытовой характеристикой, как и многие другие прозвища, ставшие фамилиями.