Фамилия Багодюк — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Её звучание и структура сразу отсылают к западноукраинской или польской модели образования: суффикс -юк характерен для фамилий Западной Украины (Волынь, Подолье, Галичина) и означает «сын» или «потомок». То есть Багодюк — это, скорее всего, «сын Багодя» или «маленький Багодь».

Сложность в основе. Прозвище или имя Багодь (Багод) в славянской антропонимике не зафиксировано как распространённое. Есть несколько версий, и самая правдоподобная — связь с диалектным словом «багода» или «багодя» в значении «болото, топь, трясина». В некоторых говорах Полесья и Карпат так называли вязкое место, где вязнут ноги. Тогда Багодюк — прозвище человека, жившего у болота, или того, кто добывал торф, клюкву, косил сено на сырых лугах. Такая топографическая модель (по месту жительства) очень типична для украинских фамилий.

Менее вероятно, но возможно, что основа восходит к имени Бага (Багод) — сокращённой форме от Богдан (Богодан). В таком случае Багодюк — «сын Богдана», но с нестандартным переходом «г» в «д» под влиянием местного говора. Третья гипотеза — связь с польским «bogaty» (богатый), но тогда ожидалась бы форма Багатюк, а не Багодюк. Звук «о» в корне скорее указывает на местный диалектный вариант, нежели на прямой переход от «богатый».

Сословно фамилия почти наверняка крестьянская, возникла в среде сельского населения. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. Географически фамилия сегодня встречается в основном в Тернопольской, Хмельницкой и Ровненской областях Украины, а также среди потомков эмигрантов в Канаде и США. В России — редчайшая, единичные случаи.

Что касается написания: ударение, скорее всего, на последнем слоге — Багодю́к, как и у большинства фамилий на -юк. Вариант с ударением на «о» (Ба́годюк) возможен, но менее характерен для этой модели.