Фамилия Балабайкиан — редкий случай, когда русское прозвище получило армянский фамильный суффикс. Разберём эту необычную конструкцию.

Основа фамилии — «балабайка». В русских говорах так называли болтуна, пустомелю, человека, который любит много и бестолково говорить. Слово того же корня, что и «балаболить», «балаболка». Прозвище Балабайка могли дать словоохотливому или, наоборот, путаному в речах человеку.

Ключевая особенность — окончание «-иан». Это типичный армянский патронимический суффикс, означающий «принадлежащий к роду такого-то». В русской среде фамилии на «-иан» обычно получали армяне, чьи предки жили в Российской империи или позже — в СССР. В данном случае носитель русского прозвища Балабайка (или его потомок) стал Балабайкианом — то есть «из рода Балабайки».

Фамилия почти наверняка возникла в зоне русско-армянского культурного пограничья — на Северном Кавказе, в Закавказье (особенно в Тифлисской губернии) или среди армянских общин юга России. Там было обычным делом, когда армяне получали русские прозвища и оформляли их по армянской модели.

В отличие от распространённых Балабановых или Балабаевых (от тюркского «бала» — дитя, или от «балабан» — большой барабан), Балабайкиан восходит именно к русскому просторечному слову. Это не тюркский и не иранский корень. Фамилия единичная, её носителей немного, и в дореволюционных метрических книгах она практически не встречается — скорее всего, оформилась уже в советское время, когда фамилии стали фиксироваться строже.

Если вы носитель этой фамилии, ваши предки, вероятно, были армянами, жившими в русскоязычной среде, и один из них получил прозвище за манеру говорить. Никакого отношения к музыкальному инструменту балалайке здесь нет — это случайное фонетическое совпадение.