Фамилия Бананчик — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в её основу, почти наверняка не связано с тем, что вы подумали. В русской ономастике не зафиксировано ни одного факта, чтобы человека прозвали за любовь к одноимённому фрукту: бананы стали массово доступны в СССР только в 1950-х годах, а фамилии к тому времени уже давно сложились и закрепились. Значит, корень иной.

Скорее всего, перед нами украинская или южнорусская фамилия, образованная от прозвища Банан. В южных говорах «банан» или «банань» — диалектное название бани (от немецкого Bad или польского bania). Так могли прозвать банщика или человека, жившего рядом с баней. Суффикс -чик в этом случае указывает на принадлежность: «Бананчик» — сын или потомок Банана, то есть «маленький Банан» или «Банан-младший». Модель типична для украинской и польской ономастики (ср. Бондарчук, Мельничук), где -чик выступает уменьшительно-патронимическим суффиксом.

Есть и вторая, менее вероятная версия. В некоторых западных говорах «банан» могло быть искажением слова «баран» (через «барань»). Тогда Бананчик — потомок Банана, то есть человека, пасшего баранов или носившего прозвище Баран. Но эта гипотеза слабее: переход «р» в «н» в живой речи встречается, но не является системным для фамилий.

Географически фамилия тяготеет к западу и юго-западу бывшей Российской империи. В дореволюционных метрических книгах единичные записи Бананчиков встречаются в Подольской и Волынской губерниях. В советское время фамилия могла «уйти» в города вместе с носителями, но осталась крайне малочисленной — по современным базам данных, в России её носят не более нескольких сотен человек.

Таким образом, основная версия: Бананчик — фамилия банщика или его потомка, образованная по украинской патронимической модели. Фрукт здесь ни при чём.