Фамилия Бариеви — редкий случай, когда в русской фамилии сохранился грузинский суффикс принадлежности -ев. Обычно грузинские фамилии в русской записи оканчиваются на -швили, -дзе, -ия, -ава, но вариант Бариеви образован по модели, схожей с русскими фамилиями на -ев, где корень заканчивается на гласный или мягкий согласный. В основе лежит имя или прозвище Барий — возможно, от греческого «бари» (тяжёлый) или от грузинского «бари» (молния, удар). Второе значение правдоподобнее: в грузинской антропонимике прозвища, связанные с природными явлениями, не редкость.

Словообразовательная модель необычна. В русском языке фамилии на -ев образуются от основ на -й или мягкий знак (Андрей → Андреев, Илья → Ильев). Здесь же мы видим основу Бари- и суффикс -ев-, что при буквальном прочтении даёт форму Бариев, но в записи Бариеви — это либо двойной суффикс (Барий + -ев + -и), либо осетинское влияние, где патронимический суффикс -ты/-ти часто переходит в -ев. Однако по звучанию фамилия тяготеет к северокавказским и закавказским регионам, где смешивались русские, грузинские и осетинские модели.

Географически фамилия Бариеви встречается в основном на юге России и в Краснодарском крае, реже — в среде потомков горских евреев, где встречается вариант Бариев с ударением на последний слог. В этом контексте корень может восходить к ивритскому «бар» (сын) или «бара» (избирать), но без дополнительных данных это лишь предположение.

Спорных версий немного. Самая слабая — связь с тюркским «бар» (есть, имеется) и суффиксом -и, что давало бы значение «тот, кто имеет». Эта гипотеза не объясняет суффикс -еви, который явно не тюркский. Правдоподобнее всего считать фамилию Бариеви результатом смешения грузинской основы с русским патронимическим суффиксом, что характерно для семей, долго живших в русскоязычной среде, но сохранивших память о кавказском предке.

Известных носителей фамилии в открытых источниках нет, что неудивительно для фамилии с такой низкой частотностью. Если вы ищете своих Бариеви, имеет смысл обратить внимание на записи метрических книг Тифлисской и Кутаисской губерний XIX века, а также на списки казачьих станиц Кубанской области — там фамилия могла закрепиться через браки или переезд.