Фамилия Башоян — армянская по происхождению, что видно сразу по типичному суффиксу -ян (в старой транскрипции -янц). В русской среде этот суффикс закрепился как указание на принадлежность к роду или выходца из определённой местности: буквально «из дома Башо» или «потомок Башо».

Основа фамилии — мужское личное имя или прозвище Башо. В армянском языке это слово может быть уменьшительной формой от имени Багдасар (армянский вариант Валтасара, что значит «защити его жизнь») или от Бабкен (древнеармянское имя, связанное с отцовством). Но более вероятно, что Башо — это сокращение от имени Башут, которое в свою очередь восходит к тюркскому «баш» — «голова», «глава», «предводитель». В армянской среде такое прозвище могли дать человеку с заметной, выдающейся внешностью (большая голова) или, что правдоподобнее, старшему в роду, главе семьи или общины.

Обрати внимание: в отличие от многих армянских фамилий, образованных от названий ремёсел (Варданян — от «вардапет», учитель) или географических названий (Арцруни — от области), Башоян построена на прозвище-титуле. Это указывает на то, что предок носителя фамилии, скорее всего, занимал в своём селе или городском квартале положение старшины, уважаемого человека, к которому обращались «башо». Никакой социальной иерархии выше этого, вроде княжеского титула, за фамилией не стоит — это именно бытовое, внутриобщинное прозвище.

Географически фамилия Башоян распространена в основном среди западных армян, то есть выходцев из исторической Западной Армении (ныне восток Турции) и армянской диаспоры. В России она встречается редко, в основном у потомков армян, переселившихся в XIX веке в Крым, Ростовскую область или Краснодарский край. Если твои предки носили эту фамилию, с высокой долей вероятности они были из региона Вана, Муша или Сасунской области — именно там имя Башо фиксируется в османских переписях XIX века.