Фамилия Баст — довольно редкая и нестандартная для русского уха. В её основе лежит не имя, а прозвище, образованное от нарицательного «баст». В старину этим словом называли заморские изделия из лыка: шляпы, ленты, украшения, плетёнки. Само слово «баст» пришло из немецкого (Bast — лыко, мочало) и в русских говорах закрепилось именно за товарами, которые привозили из-за границы.

Скорее всего, прозвище Баст получил торговец, который возил или продавал такие бастовые изделия. Это ремесленное или купеческое прозвище — одна из самых распространённых моделей образования русских фамилий, когда человека называли по его занятию. В отличие от фамилий на -ов/-ев или -ин, фамилия Баст стоит в чистой, «неоглаголенной» форме: прозвище просто перешло в фамилию без добавления суффикса принадлежности. Это характерно для прозвищ, которые уже звучали как фамилии, или для фамилий украинского, белорусского и польского происхождения, где такая модель встречается чаще.

Встречается фамилия Баст и в немецкой среде, где она могла возникнуть независимо — от того же корня (Bast) в значении «лыко» или как сокращение от личного имени Себастьян. Поэтому, если ваши предки были из регионов с компактным проживанием немецких колонистов (Поволжье, юг Украины), стоит учитывать обе версии. Однако для центральной России более правдоподобно объяснение через прозвище торговца — оно точнее вписывается в русскую традицию называть человека по товару, с которым он работал.