Фамилия Баушис — редкий для России случай, когда фамилия сохранила литовское окончание. Она образована от балтского корня «baus-», который в литовском языке означает «наказание, кара». Соответственно, прозвище Бауша (Baušas) могли дать человеку суровому, строгому или же тому, кто вершил правосудие — например, деревенскому судье или старосте, следившему за порядком. Второе возможное значение того же корня — «страх, боязнь», так что прозвище могло закрепиться за пугливым или, наоборот, внушающим страх человеком.

Суффикс «-ис» — типичный литовский патронимический показатель, соответствующий русскому «-ов» или «-ин». То есть Баушис буквально означает «сын Бауши» или «потомок Бауши». Такая модель образования фамилий характерна для западных регионов Российской империи, особенно для территорий бывшего Великого княжества Литовского. Встречается фамилия в основном на северо-западе России, в Литве и Латвии, а также среди потомков литовских переселенцев в Сибири.

В отличие от многих русских фамилий, Баушис не склоняется по падежам в мужском роде, что тоже указывает на её иноязычное происхождение. В русском языке фамилия могла подвергаться русификации: иногда её записывали как Баушин, добавляя русский суффикс, но исходная форма «Баушис» сохранилась у большинства носителей. Это не дворянская фамилия — скорее всего, предки были крестьянами или мещанами, получившими фамилию уже в XIX веке после отмены крепостного права, когда чиновники фиксировали прозвища в документах.