Фамилия Баудис — редкий случай, когда корень почти наверняка не славянский, а немецкий или балтийский. В русском языке нет слова «бауд», а суффикс -ис нехарактерен для исконных русских фамилий, где преобладают -ов, -ин или -ский. Это сразу указывает на иноязычное происхождение, скорее всего, из регионов, где пересекались немецкая и литовская или латышская традиции.

Самый прямой путь к разгадке — немецкая фамилия Baudis. Она представляет собой вариант фамилии Baudisch, которая, в свою очередь, восходит к личному имени Baldwin (Бальдвин) через чередование звуков. В средние века имя Бальдвин (означавшее «смелый друг») было популярно в немецких землях, и его сокращённые формы — Baud, Bald — дали начало целому гнезду фамилий. Суффикс -isch в немецком указывал на принадлежность («из рода Бальда»), а при переносе в русскую среду окончание могло упроститься до -ис.

Вторая версия, менее вероятная, но имеющая право на существование, — балтийский след. В литовском языке есть слово baudis (произносится как «баудис»), означающее «наказание», «кара». Однако превратить нарицательное слово с таким значением в фамилию — шаг нестандартный. Обычно литовские фамилии образуются с суффиксами -итис, -унас, -явичюс. Тем не менее, прозвище, данное суровому или строгому человеку, теоретически могло закрепиться.

Географически фамилия Баудис встречается в основном на западе России, в Беларуси, а также в Литве и Калининградской области — то есть на территориях, где исторически жили немцы или где было сильное прусское и балтийское влияние. Встречается она крайне редко, что говорит о её локальном характере и, возможно, о том, что носители происходят из одной или нескольких семей переселенцев.

Таким образом, ваш предок с фамилией Баудис, скорее всего, был либо немцем-колонистом, чью фамилию русифицировали, отбросив окончание -ш, либо выходцем из балтийских губерний. В любом случае, корень фамилии уходит в средневековую Европу, а не в крестьянскую Россию.