Фамилия Бауур — редкая и неочевидная для русского уха. Её происхождение почти наверняка не славянское, а тюркское или, с меньшей вероятностью, немецкое. Чтобы понять, откуда она взялась, нужно отбросить привычные модели русских фамилий на -ов, -ин или -ский. В фамилии Бауур нет суффикса принадлежности — это чистая основа, которая могла быть либо прозвищем, либо адаптированной формой иноязычного имени.

Самая вероятная версия ведёт к тюркским языкам. В них корень «баур» (варианты — бавыр, багыр) означает «печень» или, в переносном смысле, «кровный родственник», «близкий человек». В казахском, башкирском, татарском «бауыр» — это и орган, и метафора родства: «бауыр басу» — привязаться, как к родному. Прозвище Бауур могли дать либо человеку с каким-то качеством, связанным с этой метафорой (например, верному, «близкому к сердцу»), либо по внешнему признаку — скажем, смуглому или румяному. В кочевых культурах прозвища по частям тела не были редкостью. Удвоенная «у» в русской записи — обычное явление при передаче долгих гласных или ударения в тюркских словах (ср. Баатыр — богатырь).

Менее вероятная, но не исключённая версия — немецкое происхождение. Фамилия Bauer («бауэр», крестьянин) в России нередко писалась на слух как Бауер или Бауэр. Форма Бауур могла возникнуть при искажении в документах или в результате диалектного произношения в среде поволжских немцев. Однако для немецкой фамилии типично сохранение окончания -ер, а переход в -ур встречается редко и скорее как исключение при сильном акценте.

Географически фамилия Бауур встречается в основном на юге России и в Поволжье, а также в Казахстане. Это косвенно подтверждает тюркскую версию. Носители фамилии, скорее всего, потомки людей, получивших прозвище в среде, где тюркские языки были языками повседневного общения — в среде казаков, татар, башкир или казахских родов. Сословно это могли быть как крестьяне, так и служилые люди (казаки), поскольку прозвищная модель не привязана к одному социальному слою.

Фамилия Бауур стоит в ряду таких же редких тюркских основ, как Баулин, Бауров или Бауман. Но если Баулин и Бауров явно обрусели через суффиксы, то Бауур сохранил исходный вид — это и есть та самая деталь, которая выдает недавнюю (по историческим меркам) фиксацию фамилии или её происхождение в среде, где русская грамматика не переоформляла прозвище.