Фамилия Бавшина — женская форма, а её основа, мужская фамилия Бавшин, образована по типичной восточнославянской модели с суффиксом -ин. Этот суффикс указывает на принадлежность: Бавшин буквально означает «сын (или потомок) Бавши». Вопрос в том, что скрывается за этим прозвищем или именем Бавша.

Самая вероятная версия связывает Бавшу с диалектным глаголом «бавшить» — медлить, мешкать, задерживаться. В северных и сибирских говорах это слово бытовало в значении «тянуть время, лениться, возиться». Прозвище Бавша могли дать неторопливому, нерасторопному человеку, которого окружающие подгоняли. Такие прозвища по характеру или поведению — один из самых древних пластов русских фамилий, они не несли оскорбительного оттенка, а скорее служили меткой, отличавшей человека в общине.

Менее убедительна, но возможна версия от тюркского имени Бавш, которое встречается у татар и башкир. Однако для фамилии Бавшина, распространённой в центральной России и на Урале, славянская основа выглядит естественнее. Суффикс -ш- в прозвище (Бавша) характерен для русской народной речи, ср. Молчун — Молча, Говорун — Говорша. Это уменьшительно-пренебрежительная или просто разговорная форма, которая легко становилась фамильным прозванием.

Географически фамилия Бавшина встречается в основном в Пермском крае, Кировской области и в республиках Поволжья. Такое распределение подтверждает связь с севернорусскими говорами, где слово «бавшить» было в ходу. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходили из крестьянской или посадской среды — именно в ней прозвища по бытовым чертам закреплялись чаще всего.

Однокоренных фамилий в русском языке немного: Бавшутин, Бавшов. Это делает Бавшину редкой и локальной, а не массовой фамилией. В дореволюционных метрических книгах она фиксируется с XVIII века, что говорит о её устойчивости.