Фамилия Баясова — женская форма мужской фамилии Баясов. Её основа — прозвище или имя Баяс. В русской ономастике это редкий случай, и происхождение здесь неочевидное, с двумя основными версиями.

Первая и самая вероятная версия — тюркская. В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) слово «бай» означает «богатый», «господин», «хозяин». Аффикс «-ас» мог быть частью сложного имени или прозвища. Например, Баяс — это сокращённая форма от Баязит (арабское имя со значением «превосходящий», «непревзойдённый») или от Байаслан («богатый лев»). В таком случае предок носителя фамилии — человек, получивший имя Баяс от родителей, или прозвище за богатство или властный характер. Фамилия Баясовы могла закрепиться в среде татар, башкир или других тюркских народов, а затем, при переходе в русскую среду, потеряла национальную окраску и получила стандартный русский суффикс -ов.

Вторая версия — славянская, хотя и менее убедительная. В русских говорах существовало слово «баять» — говорить, рассказывать, заговаривать. От него могли образовать прозвище Баяс («говорун», «балагур»). Но такая словообразовательная модель (глагольная основа + -ас) для русских прозвищ нетипична. Чаще использовались суффиксы -ун (баюн), -ка (байка). Поэтому тюркское происхождение выглядит значительно правдоподобнее.

По географии фамилия Баясов/Баясова встречается в Поволжье, на Урале и в Западной Сибири — как раз в зоне активного контакта русских с тюркскими народами. Если ваши предки были крестьянами или казаками из этих мест, фамилия, скорее всего, унаследована от татарского или башкирского корня. Сословная принадлежность могла быть любой: от крестьян до купцов, но без архивных данных уточнить это невозможно.

Коротко: фамилия Баясова, вероятнее всего, ведёт род от человека по имени Баяс — тюркского происхождения, означающего «богатый» или «господин».