Фамилия Байганчуков — редкий пример, где географическая привязка перевешивает любые попытки вывести значение из одного корня. Чтобы понять её происхождение, нужно смотреть не в словарь древнерусских имён, а на карту. Основа «Байган» — это не искажённое «баян» или «байка», а тюркское имя или прозвище. В башкирском, татарском и казахском языках «бай» означает «богатый, господин», а «ган» — аффикс причастия, дающий значение «ставший, сделавшийся». То есть Байган — это «тот, кто стал богатым» или «разбогатевший». Встречается и вариант Байган без аффикса: как имя Байган (Байганша) у башкир и татар. Соответственно, Байганчуков — это патроним на русский лад: сначала от имени Байган образовали фамилию Байганчук (суффикс -чук в тюркских языках — «сын» или уменьшительный), а потом к ней добавили русский суффикс -ов, чтобы адаптировать к документам. Получается «сын Байганчука».

Но есть нюанс. Фамилия Байганчуков — не просто редкая, а локальная. Основной ареал — Оренбургская область и прилегающие районы Башкортостана. Именно там в XIX — начале XX века активно шёл процесс русификации тюркских фамилий через добавление -ов/-ев. Если ваш предок носил фамилию Байганчуков, он почти наверняка происходил из башкирских или татарских тептярей — сословия, которое не было ни крепостным, ни дворянином, а платило ясак и служило по найму. В метрических книгах Оренбургской губернии фамилия Байганчуков встречается у казаков и государственных крестьян.

Интересна и модель образования. Суффикс -чук в фамилии — редкий гость в русском ономастиконе. Обычно тюркские фамилии на -чук (вроде Харчук, Карачук) оставались без русского суффикса, но здесь его добавили. Это говорит о том, что носители фамилии жили в смешанной среде, где русская администрация требовала «стандартного» окончания для документов. Поэтому Байганчуков — не столько фамилия-прозвище, сколько фамилия-маркер: она указывает на то, что предок был тюркоязычным, но жил в зоне активного русского влияния, вероятно, на южном Урале.

Версия, что «Байган» может быть искажением фамилии Байганов или Байгушев, маловероятна: суффикс -чук слишком характерен и не мог возникнуть случайно. Так что ищите корни не в общих словарях, а в ревизских сказках Оренбуржья — там фамилия «прочитывается» однозначно.