Фамилия Байрацкая — женская форма фамилии Байрацкий, и её разбор сразу упирается в неочевидный корень. В русской ономастике суффикс -цк- (в женском варианте -цк-ая) почти всегда указывает на географическое происхождение: такую фамилию получали выходцы из села, города или местечка с названием на -цы, -цк, -цкое. Значит, искать основу нужно в топониме. Прямой населённый пункт «Байрацы» или «Байрацк» на картах не значится, но есть украинские и белорусские сёла с похожей структурой — например, Байрак. Слово «байрак» (тюркское, от «байыр» — холм, обрыв) в южнорусских и украинских говорах означает овраг, поросший кустарником, или сухой лог. Фамилии Байрак, Байраченко, Байрачный хорошо известны в Полтавской, Харьковской и Сумской областях. Вероятнее всего, Байрацкий — это вариант, образованный от названия жителя такого урочища: «байрацкий» — тот, кто из Байрака.

Менее вероятная, но возможная версия связывает фамилию с прозвищем. В диалектах слово «байрак» могло означать «гуляка», «буян» или «шумный человек» (от тюркского «байрак» — знамя, стяг, в переносном смысле — предводитель). Если основа — прозвище, то суффикс -цк- здесь нетипичен: для прозвищных фамилий чаще используют -ов/-ев или -ин. Поэтому версия с топонимом выглядит убедительнее.

Обратите внимание на суффикс: он не просто -ск-, а именно -цк-. В русской традиции фамилии на -цкий чаще встречаются у польской или украинской шляхты, а также у духовенства (семинарские фамилии). Однако Байрацкая — фамилия редкая, и её носители, скорее всего, были крестьянами или казаками, переселившимися из малороссийских губерний в центральную Россию или на Кубань. Встречается она преимущественно в Краснодарском крае, Ростовской области и на Украине. Никаких сведений о дворянском происхождении или массовой известности носителей этой фамилии нет — это именно «географическая» фамилия человека, чей предок когда-то жил у оврага, в балке или в селе с названием Байрак.