Фамилия Бьаженов — редкий и необычный случай в русской ономастике. Её основа не имеет прямого аналога в современном русском языке, и это сразу указывает на возможное иноязычное происхождение или сильное искажение при записи.

Скорее всего, перед нами вариант фамилии Боженов или Баженов, где начальный звук изменился под влиянием диалектного произношения или ошибки писаря. В русских говорах встречается чередование «бьа» и «ба»: например, слово «бьяка» (нечто мокрое, грязное) или глагол «бьякать» (блеять, говорить невнятно). Если исходить из этого, прозвище Бьажен мог получить человек с невнятной речью или неряшливый. Однако более вероятна связь с именем Бажен — древнерусским нецерковным именем, означающим «желанный, любимый» (от глагола «бажать» — желать, хотеть). В старину так называли долгожданного ребёнка.

Суффикс -ов указывает на стандартную русскую патронимическую модель: Бьаженов — сын Бьажена. Сложность в том, что в академических словарях (например, у Унбегауна или Веселовского) фамилия Бьаженов не фиксируется. Это говорит о её крайней малочисленности и, вероятно, локальном бытовании — возможно, в одном из сёл, где при переписи населения фамилию записали на слух.

Географически можно предположить связь с южнорусскими или белорусскими говорами, где «яканье» (произношение «бьяда» вместо «беда») даёт похожие звуковые переходы. Другой вариант — фамилия могла возникнуть у переселенцев из Польши или Украины, где есть фамилия Бяженов (от польского «bieżać» — бежать), но это менее вероятно.

В итоге: если вы носите фамилию Бьаженов, ваши предки, скорее всего, были крестьянами или однодворцами из центральной или южной России, а в основе фамилии лежит либо редкое диалектное прозвище, либо искажённое имя Бажен — «желанный». Точнее сказать без архивных записей невозможно, но сам факт редкости фамилии делает её уникальным маркером для генеалогического поиска.