Фамилия Бажок — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Если смотреть на её форму, сразу бросается суффикс -ок. В русских фамилиях он обычно уменьшительный или указывает на носителя признака: «малый», «сын», «тот, кто имеет отношение». Основа здесь — Баж-, и вот тут начинаются варианты.

Самая прямая версия: прозвище или мирское имя Бажок происходит от глагола «бажить» — в диалектах это значит «баловать», «шалить», «дурить», а в некоторых говорах — «сильно желать», «жаждать». Человек, которого прозвали Бажок, мог быть шалуном, баловником, либо, наоборот, кем-то с сильными страстями или необузданным нравом. Фамилии на -ок от прозвищ по характеру — обычное дело в северных и центральных русских землях.

Вторая версия, менее вероятная, но имеющая право на существование: связь с именем Бажен. Бажен — древнерусское нецерковное имя, означавшее «желанный», «долгожданный» (от «бажать» — желать). В народе имя могло сокращаться до Баж, а от него с уменьшительным суффиксом образоваться Бажок — «маленький Бажен» или «сын Бажена». Такая модель дала фамилии Баженов, Бажанов, а Бажок могла стать их более редким вариантом.

Третья, самая локальная версия: фамилия могла закрепиться за выходцем из населённого пункта с названием Бажок. Такие топонимы встречаются в западных областях России, но они настолько малочисленны, что говорить о массовом «географическом» происхождении не приходится.

Фамилия Бажок не относится к дворянским или старокнижным. Она из позднего пласта русских фамилий, которые фиксировались в основном в крестьянской и мещанской среде. Суффикс -ок, а не -ов/-ев, указывает на то, что фамилия могла закрепиться в форме прямого прозвища, без дополнительной патронимической приставки — такое встречается реже, но бывает, особенно в южнорусских и украинских говорах. В итоге: скорее всего, предок носителя фамилии Бажок — человек с живым, озорным или «желанным» характером, либо потомок человека по имени Бажен.