Фамилия Бедышев — одна из тех, где за простым звучанием скрывается неочевидная этимология. Самое интересное в ней — не корень «бед-», а суффикс, который выдает её происхождение. Модель образования здесь тюркская: основа + -ыш + русский патронимический суффикс -ев. То есть перед нами не прямое прозвище от слова «беда» (хотя народная этимология часто тянет к нему), а фамилия, восходящая к личному имени или прозвищу Бедыш.

Вероятнее всего, Бедыш — это адаптация тюркского имени или прозвища. В татарском, башкирском и других тюркских языках есть корень «бед» или «бет» со значениями «лицо», «лик», «облик». Имя Бедыш могло означать «личико», «светлоликий» или даваться как ласкательное именование ребенка. Суффикс -ыш в тюркских языках часто образует уменьшительно-ласкательные формы имен. Таким образом, Бедышев — это буквально «сын Бедыша», а сам Бедыш — человек, получивший прозвище по внешности или как ласковое домашнее имя.

Менее убедительная, но возможная версия связывает фамилию с русским диалектным словом «бедыш» — так в некоторых говорах называли невезучего, горемычного человека. Однако против этой версии говорит то, что фамилия распространена в регионах с сильным тюркским влиянием — в Поволжье, Приуралье, среди татар и башкир. Если бы корень был чисто русским, мы бы ожидали форму Бедин или Бедов, а не Бедышев. Характерный суффикс -ыш почти всегда указывает на тюркскую основу (сравните: Алышев, Булышев, Калышев).

В документах фамилия фиксируется с XVIII-XIX веков в среде служилых татар, тептярей и башкир, которые после крещения получали фамилии по отцу. Бедышевы могли быть выходцами из Казанской, Уфимской или Оренбургской губерний. Сословно это, скорее всего, были государственные крестьяне или бывшие военно-служилые люди, а не дворяне — фамилия не встречается в родословных книгах русского дворянства.

Таким образом, если вы Бедышев, ваши предки, вероятнее всего, носили тюркское прозвище или имя Бедыш, означавшее «личико» или «светлоликий», и жили на востоке европейской части России. Фамилия не имеет отношения к «бедам» — это просто внешне похожий звуковой комплекс, за которым стоит совсем другая история.