Фамилия Бегдамирова — женская форма, мужская — Бегдамиров. Она почти наверняка не славянского, а тюркского происхождения, что видно по корню и по тому, как она устроена. Основа здесь — «бегдам» или «бекдам», где первая часть («бег», «бек») означает «господин», «князь», «вождь», а вторая («дам») в тюркских языках может означать «дыхание», «дух» или выступать как часть составных имен. Получается что-то вроде «дыхание бека» или «дух господина» — имя-пожелание, которое должно было дать ребенку силу и благородство.

Словообразовательная модель простая: к основе Бегдамир добавили русский патронимический суффикс -ов (в женском роде — -а). Так в XIX–XX веках оформляли фамилии у многих народов Российской империи, принявших православие или просто попавших в русскую административную систему. Фамилия не могла возникнуть раньше, чем началась массовая фиксация фамилий у тюркских народов, то есть не раньше второй половины XIX века.

Географически фамилия тяготеет к регионам, где смешивались тюркские и русские традиции: Северный Кавказ, Поволжье, Закавказье. Скорее всего, предки носителей фамилии были из азербайджанцев, кумыков, ногайцев или других тюркоязычных групп. Встречаемость фамилии невысокая, что говорит о локальном распространении — возможно, от одного родового имени.

Есть и другой, менее вероятный путь: основа могла быть арабской или персидской, где «бегдам» — искаженное «багдад» (город). Тогда фамилия указывала бы на выходца из Багдада, но такая версия слабее, потому что для тюркских фамилий характерен именно компонент «бек/бег», а не топоним в такой форме. Поэтому основной считается версия с тюркским составным именем.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями — Бекдамов, Бекдамиров, Бегдамов — то все они строятся по одному принципу и означают одно и то же: принадлежность к роду человека, которого звали именем с корнем «бек/бег».