Фамилия Бекдамиров — редкий образец, где тюркский титул встретился с арабским именем, а затем всё это закрепилось русским патронимическим суффиксом. Разбираем по частям.

Корень «бек» (в старых написаниях «бег» или «бий») в тюркских языках означал «господин», «князь», «правитель». Вторая часть — «Дамир» — это одна из форм арабского имени Тамир/Тамер, которое восходит к слову «тамир» — «железный» (в значении «крепкий», «несгибаемый»). Получается, что Бекдамиров — буквально «сын Бека Дамира» или «сын господина Дамира».

Модель образования типична для русских фамилий, возникших в среде тюркоязычных народов, принявших православие или долго живших в контакте с русскими. Суффикс -ов добавили при оформлении фамилии по русскому образцу, примерно в XIX веке. До этого носитель мог зваться просто Бек-Дамир или Бекдамиром — составным именем, где первая часть подчёркивала статус, а вторая — личное имя.

Географически фамилия тяготеет к Северному Кавказу и Поволжью — регионам, где титул «бек» был распространён у кумыков, балкарцев, карачаевцев, татар и башкир. Встречается она и у азербайджанцев, но реже. Социальный срез: предки могли принадлежать к местной знати или служилому сословию, но со временем фамилия «демократизировалась» — её носили и крестьяне, получившие фамилию по имени отца.

Отличительная деталь: в отличие от более частых фамилий вроде Бекмуратов или Бекназаров, где вторая часть — тоже тюркское имя, здесь арабский корень «Дамир» нередко путают со славянским именем Дамир (от «дать мир»). Но в случае с Бекдамировым происхождение однозначно восточное: славяне не ставили «бек» перед именем.