Фамилия Бегдаш — одна из тех, что отсылают не к личному имени или прозвищу, а к географическому названию. Её основа — туркменский город Бегдаш (ныне посёлок на западе Туркменистана, на берегу Каспийского моря, известный нефтяными месторождениями). Название города, в свою очередь, скорее всего, сложилось из двух тюркских корней: «бек» (главный, господин, князь) и «таш» (камень). Получается что-то вроде «господский камень» или «камень бека» — возможно, так назвали скалистый или каменистый ориентир, позже ставший именем поселения.

По словообразовательной модели фамилия Бегдаш — это чистый топоним без суффиксов. Такие фамилии (как Саратов, Париж, Берлин) в русской среде встречаются реже, чем патронимы на -ов или -ин, и часто указывают на то, что предок либо родился в этом месте, либо долго там жил, либо был оттуда родом. В русских документах фамилия могла закрепиться за выходцами из Закаспийской области (Туркмения), которые переселялись в центральные губернии или на Кавказ.

Искать в фамилии Бегдаш тюркский титул «бек» напрямую не стоит: скорее всего, он входит в состав географического названия, а не указывает на знатное происхождение носителя. Однако фамилия сохранила редкую для русского уха двухкорневую основу и чёткую связь с конкретным регионом — Прикаспием. Встречается она нечасто, но если попадётся, можно почти наверняка говорить о туркменских или, шире, среднеазиатских корнях семьи.