Фамилия Бегейлюк — редкий образец восточнославянской фамилии, в которой смешались разные языковые традиции. Её основа, скорее всего, восходит к прозвищу Бегей или Бігей. В украинском языке слово «бігей» (или «бігай») — повелительное наклонение от глагола «бігати» (бегать). Так могли назвать непоседливого, подвижного человека, скорохода или гонца. Реже — того, кто работал бегуном, рассыльным. В польском языке есть фамилия Bigaj с тем же значением, что указывает на возможное западное влияние.

Суффикс -юк — типичный для западноукраинских и белорусских фамилий, особенно распространённый на Волыни, Подолье и в Полесье. Он обозначал принадлежность к роду: Бегейлюк — «сын или потомок Бегея». Таким образом, фамилия образована по модели «прозвище + патронимический суффикс», что характерно для крестьянских фамилий, сложившихся в XVI–XVII веках. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые чаще встречались у служилых людей, Бегейлюк — фамилия более позднего, народного слоя.

Интересная деталь: написание через «е» (Бегейлюк) вместо более ожидаемого «і» (Бігейлюк) может указывать на адаптацию под русскую орфографию в документах XIX–XX веков, либо на диалектное произношение, где «і» перешло в «е». Встречается и вариант Бегайлюк, но он ещё реже. Географически фамилия привязана к западу Украины — в первую очередь к Тернопольской, Хмельницкой и Ровенской областям, а также к приграничным районам Беларуси.

Социальный контекст: носители фамилии Бегейлюк почти наверняка происходят из крестьян или мещан, без дворянских корней. Фамилия не фиксируется в старых родословных книгах и не связана с известными историческими родами. Это не делает её менее ценной — напротив, она хранит память о простом человеке, чья живость или профессия дали начало целому роду.