Фамилия Бегей — редкий случай, когда основа настолько прозрачна, что сразу вызывает вопрос: неужели всё так просто? Да, перед нами, скорее всего, прозвище от глагола «бегать». Но дьявол, как всегда, в деталях: фамилия образована не от инфинитива, а от повелительного наклонения — «бегай». Такая модель словообразования (глагольная основа + фамильный суффикс -ей) встречается нечасто и характерна в основном для украинской и южнорусской ономастики. Сравните: Берегей (от «береги»), Дерзей (от «дерзай»), Прощай. Суффикс -ей здесь работает как оформитель прозвища в фамилию, причём без дополнительных патронимических окончаний (-ов, -ин), что указывает на её относительно позднее закрепление — скорее всего, в XIX веке, когда фамилии давали по уличному прозвищу, а не по отцу.

Что могло означать прозвище Бегай? Самая прямая версия — человек, который много бегает: скороход, гонец, рассыльный, почтальон, либо, напротив, непоседа, которого невозможно удержать на месте. В казачьей среде, например, «бегуном» могли назвать ловкого и быстрого в бою воина. Вторая, менее очевидная версия, связана с диалектным значением: в некоторых говорах «бегать» означало «ухаживать», «волочиться» за женщинами. Тогда прозвище Бегай могло закрепиться за дамским угодником. Третья, самая редкая гипотеза, выводит фамилию из тюркского «бег» (князь, господин) с добавлением русского суффикса -ей. Однако фонетически это менее вероятно: от тюркского «бег» в русском языке образовались фамилии Бегин, Бегов, Беглов, а не Бегей.

Географически фамилия Бегей тяготеет к западу и югу России: её носители чаще всего встречаются в Краснодарском крае, Ростовской области и на Украине. В дореволюционных метрических книгах фамилия фиксируется в основном среди казаков и крестьян. Дворянских родов с такой фамилией нет — её носители были людьми простого сословия, и прозвище, лёгшее в основу, скорее всего, давалось по характеру или роду занятий. Ударение в фамилии обычно падает на второй слог: Бегéй.