Фамилия Белимнко, скорее всего, является результатом искажения или опечатки. В русском языке не существует устоявшейся фамилии с таким сочетанием согласных «мнк». Наиболее вероятная версия — что перед нами фамилия Белименко, где буква «е» при записи или в речи перешла в «н» (явление, известное как ассимиляция или просто невнимательность писаря). Если это так, то перед нами типичная украинская или южнорусская фамилия на -енко.

Суффикс -енко (а также -ко) в украинской ономастике означает «потомок», «сын» или «маленький». Белименко, соответственно, «потомок Белима». Основа Белим — это, скорее всего, прозвище или производная форма от имени Белый. В славянской традиции прозвище Белый давали либо светловолосому, бледному человеку, либо, напротив, чистому, доброму, «обеленному» от грехов. Форма на -им (Белим) — это усечённый вариант, характерный для украинских прозвищ (ср. Непийвода — «пей воду», или просторечные формы вроде Грим, Яким). Таким образом, Белименко — это «сын Белого» или «сын человека по прозвищу Белим».

Если же фамилия пишется именно как Белимнко без буквы «е» в середине, то это уникальный случай, который не поддаётся классическому словообразовательному разбору. В таком варианте фамилия, скорее всего, искусственная, возникшая при записи в советских паспортных столах или при переписи, когда чиновник неверно расслышал или записал фамилию. Единственное, что можно сказать наверняка: корень -бел- указывает на цвет или качество (белый), а окончание -ко характерно для украинских фамилий. В любом случае, носители фамилии в её нынешнем виде — явление редкое, и её стоит проверять по архивам XIX века, где, вероятно, обнаружится исходная форма Белименко.