Фамилия Белогаев — это типичный пример «географической» фамилии, образованной от прозвища, которое указывало на место жительства предка. В основе лежит словосочетание «белый гай». В украинском языке «гай» — это роща, небольшой лиственный лес, а «белый» мог означать либо светлую листву (например, березовая роща), либо особую примету местности — например, лес на меловой почве или с белыми стволами деревьев. Человек, живший у такого урочища, получал прозвище Белогай, а его дети и внуки становились Белогаевыми.

Модель образования фамилии — прозвище на -ай плюс типичный русский патронимический суффикс -ев. Суффикс -ай в русских и украинских прозвищах нередко встречается в именованиях по характерному признаку или местности (сравните: Косай, Гуляй, Шибай). Суффикс -ев, а не -ов, стоит после мягкого согласного [й] в конце основы «Белогай», что грамматически абсолютно верно.

Фамилия довольно редкая. Её ареал, скорее всего, связан с южнорусскими и украинскими землями — территориями, где слово «гай» было в ходу (Курская, Воронежская, Белгородская области, Левобережная Украина). Встречается и другой вариант написания — Белогаев, который мог закрепиться при переходе из украинской письменности в русскую, где «гай» пишется так же, но произносится твёрже.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» модель «гай» + суффикс -ев разбирается на примере фамилии Гай, но Белогаев — более сложный случай, где прозвище образовано не от одного слова, а от целого описательного оборота. Такие «пейзажные» фамилии (Дубов, Березов, Липов) встречаются часто, но Белогаев выделяется тем, что в основе не дерево, а тип леса с цветовой характеристикой.

Если говорить о социальном контексте, то прозвище Белогай могли дать крестьянину или казаку, чей дом или надел находился рядом с приметной белой рощей. В документах XVII–XVIII веков подобные прозвища фиксировались как неофициальные имена, а фамилия окончательно закрепилась за потомками уже после отмены крепостного права, когда крестьянам массово присваивали фамилии по прозвищам отцов.

Итог прост: Белогаев — это «житель у белого леса», и фамилия эта — прямой указатель на ландшафт, в котором жил ваш предок.