Фамилия Берхина — вариант женской формы от Берхин, и её разбор стоит начать с финального суффикса. Суффикс -ин указывает на принадлежность: в русской традиции так образовывали фамилии от основ, оканчивающихся на -а или -я. Изначально это было притяжательное прилагательное, отвечавшее на вопрос «чей?»: Берхин сын, то есть сын человека по прозвищу или имени Берха.

Сама основа «Берх» — редкая и неочевидная. Самое вероятное объяснение: это усечённая или диалектная форма от имени Бернхард (Бернард), которое через немецкое посредничество попало в русскую среду. В говорах, особенно на северо-западе и в приграничных с Прибалтикой регионах, иностранные имена часто «обрубали» до короткого звучания. Берха могло быть домашним вариантом для немца-колониста, прибалтийского немца или шведа, осевшего в России. Менее вероятная, но допустимая версия — связь с диалектным глаголом «берхать» (кричать, шуметь), который фиксируется в псковских и тверских говорах. В таком случае прозвище Берха дали бы крикливому или вздорному человеку.

В русском ономастиконе фамилия Берхин встречается редко и локально. Словарь Б. Унбегауна не включает её в основной корпус типичных русских фамилий, что подтверждает её иноязычный или диалектный характер. Географически следы ведут в Карелию, Ленинградскую и Псковскую области — места, где столетиями смешивались русское, финское, карельское и немецкое население. Там же, кстати, существовала фамилия Берков, но Берхин стоит особняком: суффикс -ин вместо -ов говорит о том, что основа воспринималась как слово женского рода (Берха, а не Берх).

Писали фамилию в старых метриках неустойчиво: можно встретить Берхина, Берхин, а иногда и Беркина — из-за глухой пары «х/к» в устной речи. Если ваш предок носил фамилию Берхин, он мог быть потомком выходца из немецких колоний или уроженцем пограничья, где личные имена перекраивались на русский лад.