Фамилия Беркоша — редкая, и её происхождение неочевидно. Скорее всего, перед нами фамилия украинского или белорусского корня с характерным окончанием -ша. В славянской ономастике суффикс -ша часто указывает на прозвище, образованное от глагола (например, «проша» от «просить»), либо на форму имени. В случае с Беркоша логичнее всего предположить, что основа — «берко» или «берк». Это может быть диалектный вариант слова «беркут» (хищная птица, орёл) или производное от тюркского «берк» — «крепкий, сильный». В украинских говорах «беркут» могло звучать как «берко», а прозвище Беркоша дали бы человеку, напоминающему орла: зоркому, гордому или суровому.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с еврейским именем Берко (уменьшительное от Бер, «медведь» на идише). В таком случае Беркоша — это украинизированная или белорусизированная форма фамилии, образованной от личного имени с помощью суффикса -ша. Однако, чтобы утверждать это, нужны дополнительные данные о географии фамилии: если она встречается в западноукраинских или подольских землях, версия с «беркутом» весомее; если в черте оседлости — возможен и еврейский след.

Фамилия не получила широкого распространения. Она не фиксируется в классических словарях русских фамилий (например, у Унбегауна или Веселовского), что подтверждает её локальный, скорее всего, западнорусский или украинский характер. Носители фамилии могли быть выходцами из казацкой среды или крестьянами, чьё прозвище закрепилось за родом. Единственное, что можно сказать с уверенностью: суффикс -ша не типичен для великорусских фамилий, а значит, предки Беркоша жили на территории современной Украины или Беларуси, где такие словообразовательные модели встречаются чаще.