Фамилия Бершанская — одна из тех, где за очевидной основой скрывается сразу несколько версий, и выбор между ними зависит от того, на какой регион и эпоху мы смотрим. Разберём их по порядку, от более вероятной к менее.

Первое, что бросается в глаза, — суффикс -ск- и окончание -ая. Это типичная модель для фамилий, образованных от географических названий (сел, деревень, урочищ). В русской ономастике такие фамилии чаще всего получали дворяне по названию своего поместья или выходцы из определённой местности. В случае Бершанской логичнее всего предположить, что основа — это название населённого пункта. Подходящих вариантов несколько: деревня Боришин (с характерным чередованием «р/ш» в диалектах) или Борщи (от «борщ» — растение, а не суп). Если фамилия действительно пошла от Боришина, то исходная форма могла звучать как «Боришинский», а затем упроститься до Бершанского. Такое стяжение — обычное дело в живой речи.

Вторая версия — антропонимическая. Основа Берш могла быть краткой формой немецкого имени Бертольд (Berthold), особенно распространённого в Швабии. В этом случае фамилия попала бы в Россию через переселенцев или через прибалтийских немцев, служивших в русской армии. Модель «Берш + -ан- + -ск-» здесь работает как отчество-прозвище: сначала человека звали просто Берш (домашнее имя), а его потомки стали Бершанскими. Слабое место этой версии — малое количество документальных подтверждений бытования имени Берш в русских землях.

Третья, самая экзотическая версия — от слова «берш» как названия рыбы из семейства окуневых (близкий родственник судака). Такие «рыбные» прозвища (Ёрш, Окунь, Лещ) давали людям по внешности или по профессии — например, рыбаку. Однако в русских говорах слово «берш» встречается редко, чаще используется «берш» как диалектный вариант «берша» (маленький судак). Если прозвище Берш и существовало, то фамилия от него должна была бы звучать как Бершев или Бершин, а не Бершанский. Суффикс -ан- в данном случае указывает скорее на принадлежность к месту («из Бершей»), чем на прямое отчество.

Итог: наиболее правдоподобно, что Бершанские — это выходцы из деревни с названием вроде Боришин или Берша (если такая существовала). Второй по вероятности путь — немецкое имя Бертольд, сокращённое до Берш и адаптированное русским суффиксом. Версия с рыбой красива, но лингвистически слаба — для неё нет типичной модели словообразования.