Фамилия Бесчеремных — редкий пример фамилии, образованной от прозвища, которое описывало не внешность или профессию, а отсутствие какого-то качества. Разбираем её по косточкам.

В основе лежит слово «чере́мный» или «черёмный». В русских говорах (особенно северных и сибирских) «черёмный» означало «смуглый», «тёмно-русый» или даже «смуглолицый». Реже — «красный», «рыжий» (от древнерусского «чьрвенъ»). Прозвище Черемный давали человеку с тёмными волосами или смуглой кожей. Фамилия Бесчеремных, таким образом, — «отрицательная»: так могли назвать того, кто был наоборот, бледным, белобрысым или светлокожим, то есть «без черёмного цвета».

Главная особенность здесь — суффикс -их/-ых. Это типичная «северная» модель фамилий, распространённая в Архангельской, Вологодской, Вятской губерниях и в Сибири (куда переселенцы унесли этот обычай). Фамилии на -их/-ых отвечали на вопрос «чьи вы?»: Бесчеремных — из семьи Бесчеремных, то есть потомков того самого «бесчерёмного» человека. В отличие от стандартных -ов/-ев, эта форма не склоняется: во всех падежах остаётся Бесчеремных. Это сразу указывает на регион происхождения — скорее всего, север Европейской России или Зауралье.

Слово «черемный» сейчас почти вышло из употребления, поэтому фамилия кажется тёмной. Но ономасты (например, в работах Б. Унбегауна) относят такие фамилии к группе прозвищных, описывающих цвет волос или кожи. Аналог — фамилии Белобородов, Чернов, Седых. Но Бесчеремных — зеркальное отражение: не «черный», а «нечерный». Встречаются варианты Бесчеремнов, Бесчеремный, но форма на -ых — самая архаичная и редкая.

Версия о связи с «черемом» (черемухой) или «черемисами» (устаревшее название марийцев) маловероятна: приставка «без-» в таких случаях давала бы другое значение («лишённый черемухи» — бессмыслица). Так что основной корень — цветовой признак, а фамилия — живое напоминание о том, как в деревне прозвали бледного парня, чьи дети и внуки стали Бесчеремными.