Фамилия Бесчяастнов — редкий и орфографически любопытный случай. На первый взгляд видна опечатка: буква «я» после «ч» выглядит подозрительно. В русском языке сочетание «чя» ненормативно, и, скорее всего, мы имеем дело с искажением исходной фамилии Бесчастнов. «Я» могло появиться в результате народной этимологии (когда непонятное слово «подгоняют» под более знакомое, например, «чястный» вместо «частный») или из-за ошибки писаря в XIX веке. Поэтому в основе лежит не «чясть», а «часть».

Словообразовательная модель проста: основа «бесчастн-» (от «бесчастный» — несчастный, обездоленный) плюс типичный русский суффикс принадлежности -ов. Фамилия означает «сын бесчастного», то есть предок получил прозвище Бесчастный. Такие прозвища давали человеку, которого преследовали неудачи, бедность или несчастья, — не в осуждение, а как констатацию судьбы. В старину «бесчастный» могло означать и «лишённый доли, удела», то есть не имеющий своего надела земли.

Географически фамилия Бесчастнов (и её искажённые варианты) встречается в центральных и южнорусских областях, но не массово. Судя по документам XVII–XVIII веков, Бесчастновы — это крестьяне и однодворцы, жившие на южных рубежах Московского государства. В ревизских сказках Воронежской и Тамбовской губерний попадаются записи «Бесчастнов» и изредка «Бесчястнов» — как раз та самая писарская ошибка, закрепившаяся в роду.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Счастливцев, Несчастливцев) показывает, что основа «част-» (доля, удача) была продуктивной. Но Бесчастнов выделяется тем, что это не просто «несчастный», а человек, лишённый самой части — доли. В словаре Б. Унбегауна такие фамилии отнесены к группе, образованной от прилагательных с отрицательной приставкой бес-.

Если ваш предок писался именно через «я», это не ошибка, а уникальный маркер рода — возможно, так зафиксировали фамилию в конкретной волости. Сегодня вариант Бесчяастнов (с двумя «а» — ещё одно возможное искажение) встречается единично, и его носители могут быть потомками тех самых крестьян, чью фамилию писарь записал на слух, да с двумя ошибками сразу.