Фамилия Бесщётная — редкий случай, когда написание напрямую подсказывает значение. В основе лежит прилагательное «бесщётный» или наречие «бесщётно», то есть «бессчётный», «неисчислимый». Человек мог получить такое прозвище за невероятное богатство, огромное хозяйство или, напротив, за расточительность, когда «деньги не считают». В крестьянской среде прозвище могло закрепиться за тем, у кого «счёту нет» ни скоту, ни урожаю, — в обоих случаях это указание на масштаб, выходящий за рамки обычного.

Обратите внимание на суффикс -н- и окончание -ая. Это классическая модель русских фамилий, образованных от полных прилагательных. Такие фамилии чаще всего встречались на севере и в центральных губерниях России, где была распространена «уличная» форма именования, закреплявшаяся в документах. В отличие от фамилий на -ов/-ев или -ин, которые указывали на принадлежность отцу (чей сын?), форма на -ой/-ая прямо описывала самого человека: Бесщётный, Бесщётная.

У фамилии есть интересная орфографическая особенность. Современное написание с «ё» (Бесщётная) не должно вводить в заблуждение: в старых документах и в церковнославянской традиции корень писали через «е» — «бесчетный» (от «чет» — счёт). Переход «е» в «ё» под ударением — естественный процесс в русском языке, но в некоторых ветвях рода фамилия могла сохранить первоначальное написание Бесчетная. Оба варианта исторически верны, хотя с «ё» фамилия звучит архаичнее.

В ономастических справочниках фамилия не относится к частым. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» есть указание на модель образования от прилагательных с отрицанием (Безобразов, Бессонов), но Бесщётная не упоминается отдельно — это говорит о её редкости и локальном бытовании. Скорее всего, предки носителей фамилии жили в одном или нескольких соседних уездах, где прозвище закрепилось за конкретным родом.

Если вы встретили фамилию в женском роде (Бесщётная), то она могла принадлежать женщине в девичестве или вдове, либо быть зафиксированной в документах как «уличная» фамилия всей семьи. В мужском варианте фамилия звучала бы как Бесщётный, но в современных списках чаще встречается именно женская форма — возможно, из-за того, что родоначальником был мужчина с прозвищем Бесщётный, а его потомки унаследовали форму, застывшую в документах.