Фамилия Бецких стоит в ряду так называемых «полуфамилий» или «фамилий-прозив» на -их/-ых, характерных для северных и центральных областей России, а также Сибири. Такая модель образования — застывшая форма родительного падежа множественного числа: «из дома Бецких» означало «из семьи Бецкого». По сути, это указание на принадлежность к роду или клану, где главу звали Бецкой.

Корень здесь — «бец-», что сразу отсылает к старому русскому слову «бец» или «бецой». В диалектах «бецой» означало «белый», то есть светловолосый или бледнолицый человек. Однако есть и другая, более конкретная версия: «бец» — это уменьшительная форма от имени Бенедикт (в народном произношении — Бедет, Бедя, а затем Бетя, Бец). Так могли называть мальчика в семье, а потом прозвище закрепилось за отцом.

Фамилия редкая, в современных справочниках почти не встречается. В исторических документах XVIII–XIX веков фамилию Бецких носили крестьяне и мещане из районов Вятки, Перми и Архангельской губернии — как раз тех мест, где патронимические формы на -их были нормой. Один из известных носителей — Иван Иванович Бецкой (1704–1795), государственный деятель и реформатор образования при Екатерине II, но здесь важно уточнение: его фамилия писалась через одно «к» (Бецкой) и была искусственно образована от фамилии Трубецкой (усечение «Тру»). К рядовым крестьянским Бецких эта история прямого отношения не имеет — это случайное созвучие.

Таким образом, если ваши предки носили фамилию Бецких, скорее всего, они происходили из северорусской крестьянской среды, а прозвище родоначальника указывало либо на внешность (белый, светлый), либо на имя Бенедикт в простонародной форме.